這題都出過(guò)多少次了.詳細(xì)解答如下：
首先,連續(xù)是連續(xù),可導(dǎo)是可導(dǎo),題目要你先證明連續(xù)性你就先證這個(gè),凡事一步一步來(lái)不要跳.注意這里只需要證明函數(shù)在x=0點(diǎn)連續(xù)以及可導(dǎo),只要證明這一點(diǎn)就夠了,其他的點(diǎn)是不是連續(xù),是不是可導(dǎo)我們根本就不關(guān)心.利用連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)的定義還有題設(shè)條件就完了.
證明函數(shù)f(x)在x=0點(diǎn)的連續(xù)性只需要證明在x=0處極限值等于函數(shù)值.
亦即lim (x趨于0) phi(x)/x = f(0) = 1,因?yàn)榇藭r(shí)x是“趨于”0,不是“等于”0,因此極限符號(hào)里面的f(x)的表達(dá)式必須套用x不為零那一段的函數(shù)值；(phi就是題目里的希臘字母,我的拼寫是按照發(fā)音拼的,英語(yǔ)里ph發(fā)/f/的音,所以念作/fi/).由于：
phi ' (0) = lim (x趨于0) [phi(x) - phi(0) ]/x （導(dǎo)數(shù)定義）
= lim (x趨于0) phi(x)/x （phi(0) = 0）
= 1 (題目給的,phi ' (0) =1)
于是,lim (x趨于0) phi(x)/x = 1,連續(xù)性證畢；
關(guān)于在x=0的可導(dǎo)性,還是根據(jù)定義,考察如下極限：
f'(0) = lim (x趨于0) [f(x) - f(0)]/x
= lim (x趨于0) [ phi (x)/x - 1]/x
注意到,當(dāng)x趨于0時(shí),分子分母都是趨于0的,因?yàn)槲覀儎偛抛C明過(guò)了lim (x趨于0) phi(x)/x = 1.（所以我們必須循序漸進(jìn)地先證明連續(xù)性再證明可導(dǎo)性,這里必須利用我們剛證明過(guò)的連續(xù)性）
由于是0/0不定式,加上phi(x)是二階連續(xù)可導(dǎo)的,所以可以考慮用羅比達(dá)法則,
f'(0) = lim (x趨于0) [ phi ' (x) * x - phi(x)]/x^2 (^2為平方,* 為乘號(hào))
這同樣是一個(gè)0/0型,因?yàn)轭}目已知phi (0) = 0.于是繼續(xù)用一次羅比達(dá)法則,
f'(0) = lim (x趨于0) [ phi '' (x) * x + phi ' (x) - phi ' (x)] / (2x)
= lim (x趨于0) [ phi '' (x) * x ] / (2x) = lim (x趨于0) phi '' (x) / 2
由于函數(shù)phi '' (x)在x=0處連續(xù)（二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)）,所以,
f'(0) = lim (x趨于0) phi '' (x) / 2 = phi '' (0) / 2
現(xiàn)在已經(jīng)求出了導(dǎo)數(shù),而且phi '' (0)是完全有定義的（說(shuō)phi(x)在x=0有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)就等于默認(rèn)phi '' (0)是存在的）,證畢.
如果題目繼續(xù)告訴你phi '' (0)是多少,直接代入就能求f'(0) 了.
這題太老了,我讀本科的時(shí)候?qū)@個(gè)題印象非常深刻.考了好幾次這個(gè)題.