1定理
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三角形的重心,外心,垂心,內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心.三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,內(nèi)心定理,旁心定理的總稱.
2重心定理
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三角形的三條邊的中線交于一點.該點叫做三角形的重心.三中線交于一點可用燕尾定理證明,十分簡單.（重心原是一個物理概念,對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片,其重心恰為此三角形三條中線的交點,重心因而得名）
重心的性質(zhì)：
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2︰1.
2、重心和三角形任意兩個頂點組成的3個三角形面積相等.即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比.
3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小.
4、在平面直角坐標系中,重心的坐標是頂點坐標的算術(shù)平均數(shù),即其重心坐標為（（X1+X2+X3）/3,（Y1+Y2+Y3）/3）.
5.以重心為起點,以三角形三頂點為終點的三條向量之和等于零向量.
3外心定理
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三角形外接圓的圓心,叫做三角形的外心.
外心的性質(zhì)：
1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點,該點即為該三角形外心.
2、若O是△ABC的外心,則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）.
3、當三角形為銳角三角形時,外心在三角形內(nèi)部；當三角形為鈍角三角形時,外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時,外心在斜邊上,與斜邊的中點重合.
4、計算外心的坐標應先計算下列臨時變量：d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3.外心坐標：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c ).
5、外心到三頂點的距離相等
4垂心定理
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三角形的三條高（所在直線）交于一點,該點叫做三角形的垂心.
垂心的性質(zhì)：
1、三角形三個頂點,三個垂足,垂心這7個點可以得到6個四點圓.
2、三角形外心O、重心G和垂心H三點共線,且OG︰GH=1︰2.（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line））
3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍.
4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等.
定理證明
已知：ΔABC中,AD、BE是兩條高,AD、BE交于點O,連接CO并延長交AB于點F ,求證：CF⊥AB
證明：
連接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四點共圓 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC　∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此,垂心定理成立!
5內(nèi)心定理
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三角形內(nèi)切圓的圓心,叫做三角形的內(nèi)心.
內(nèi)心的性質(zhì)：
1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點.該點即為三角形的內(nèi)心.
2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一.
3、P為ΔABC所在空間中任意一點,點0是ΔABC內(nèi)心的充要條件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O為三角形的內(nèi)心,A、B、C分別為三角形的三個頂點,延長AO交BC邊于N,則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
5、(歐拉定理)⊿ABC中,R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑,O和I分別為其外心和內(nèi)心,則OI^2=R^2-2Rr．
6、（內(nèi)角平分線分三邊長度關系）
△ABC中,0為內(nèi)心,∠A 、∠B、 ∠C的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R,　則BQ/QC=c/b,CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.
7、內(nèi)心到三角形三邊距離相等.
6旁心定理
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三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心,叫做三角形的旁心.
旁心的性質(zhì)：
1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點,該點即為三角形的旁心.
2、每個三角形都有三個旁心.
3、旁心到三邊的距離相等.
如圖,點M就是△ABC的一個旁心.三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內(nèi)角平分線的交點.一個三角形有三個旁心,而且一定在三角形外.
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心,這時重心,內(nèi)心,外心,垂心,四心合一.
7有關詩歌
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三角形五心歌（重外垂內(nèi)旁）
三角形有五顆心,重外垂內(nèi)和旁心,五心性質(zhì)很重要,認真掌握莫記混．
重 心
三條中線定相交,交點位置真奇巧,交點命名為“重心”,重心性質(zhì)要明了,
重心分割中線段,數(shù)段之比聽分曉； 長短之比二比一,靈活運用掌握好．
外 心
三角形有六元素,三個內(nèi)角有三邊． 作三邊的中垂線,三線相交共一點．
此點定義為外心,用它可作外接圓． 內(nèi)心外心莫記混,內(nèi)切外接是關鍵．
垂 心
三角形上作三高,三高必于垂心交． 高線分割三角形,出現(xiàn)直角三對整,
直角三角形有十二,構(gòu)成六對相似形,四點共圓圖中有,細心分析可找清.
內(nèi) 心
三角對應三頂點,角角都有平分線,三線相交定共點,叫做“內(nèi)心”有根源；
點至三邊均等距,可作三角形內(nèi)切圓,此圓圓心稱“內(nèi)心”,如此定義理當然．
五心性質(zhì)別記混,做起題來真是好.