由拉格朗日乘數(shù)法的推導(dǎo)過(guò)程可以看出,λ≠0,否則駐點(diǎn)(x0,y0)滿(mǎn)足的式子就變成了
f對(duì)x的偏導(dǎo)=0
f對(duì)y的偏導(dǎo)=0
f對(duì)λ的偏導(dǎo)=0
前面兩個(gè)式子一般是不成立的.
求z=xy^2在x^2+y^2=1下的極值?一般應(yīng)該是求最大值、最小值!
一種方法是化成一元函數(shù)的極值z(mì)＝x(1－x^2),－1≤x≤1.
用拉格朗日乘數(shù)法的話(huà),設(shè)L(x,y)＝xy^2＋λ(x^2＋y^2－1),解方程組
y^2＋2λx＝0
2xy＋2λy＝0
x^2＋y^2＝1
前兩個(gè)方程求出x＝－λ,y^2＝2λ^2,代入第三個(gè)式子得λ＝±1/√3,所以x＝±1/√3,y＝±√(2/3),比較4個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值可得最大值和最小值