例1 畫出不等式組 表示的平面區(qū)域．
分析 采用“圖解法”確定不等式組每一不等式所表示的平面區(qū)域,然后求其公共部分．
解 把 ,代入 中得
∴ 不等式 表示直線 下方的區(qū)域（包括邊界）,即位于原點(diǎn)的一側(cè),同理可畫出其他兩部分,不等式組所表示的區(qū)域如圖所示．
說明 “圖解法”是判別二元一次不等式所表示的區(qū)域行之有效的一種方法．
例2 若 、 滿足條件 求 的最大值和最小值．
分析 畫出可行域,平移直線找最優(yōu)解．
解 作出約束條件所表示的平面區(qū)域,即可行域,如圖所示．
作直線 ,即 ,它表示斜率為 ,縱截距為 的平行直線系,當(dāng)它在可行域內(nèi)滑動時(shí),由圖可知,直線 過點(diǎn)時(shí),取得最大值,當(dāng) 過點(diǎn) 時(shí),取得最小值．
∴ ∴
說明 解決線性規(guī)劃問題,首先應(yīng)明確可行域,再將線性目標(biāo)函數(shù)作平移取得最值．
例3 某糖果廠生產(chǎn) 、 兩種糖果,種糖果每箱獲利潤40元,種糖果每箱獲利潤50元,其生產(chǎn)過程分為混合、烹調(diào)、包裝三道工序,下表為每箱糖果生產(chǎn)過程中所需平均時(shí)間（單位：分鐘）
混合
烹調(diào)
包裝
1
5
3
2
4
1
每種糖果的生產(chǎn)過程中,混合的設(shè)備至多能用12機(jī)器小時(shí),烹調(diào)的設(shè)備至多只能用機(jī)器30機(jī)器小時(shí),包裝的設(shè)備只能用機(jī)器15機(jī)器小時(shí),試用每種糖果各生產(chǎn)多少箱可獲得最大利潤．
分析 找約束條件,建立目標(biāo)函數(shù)．
解 設(shè)生產(chǎn) 種糖果 箱,種糖果 箱,可獲得利潤 元,則此問題的數(shù)學(xué)模式在約束條件 下,求目標(biāo)函數(shù) 的最大值,作出可行域,其邊界
由 得 ,它表示斜率為 ,截距為 的平行直線系,越大,越大,從而可知過 點(diǎn)時(shí)截距最大,取得了最大值．
解方程組
∴ 即生產(chǎn) 種糖果120箱,生產(chǎn) 種糖果300箱,可得最大利潤19800元．
說明 由于生產(chǎn) 種糖果120箱,生產(chǎn) 種糖果300箱,就使得兩種糖果共計(jì)使用的混合時(shí)間為120＋2×300＝720（分）,烹調(diào)時(shí)間5×120＋4×300＝1800（分）,包裝時(shí)間3×120＋300＝660（分）,這說明該計(jì)劃已完全利用了混合設(shè)備與烹調(diào)設(shè)備的可用時(shí)間,但對包裝設(shè)備卻有240分鐘的包裝時(shí)間未加利用,這種“過剩”問題構(gòu)成了該問題的“松馳”部分,有待于改進(jìn)研究．
例4 甲、乙、丙三種食物的維生素 、 含量及成本如下表：
甲
乙
丙
維生素 （單位/千克）
600
700
400
維生素 （單位/千克）
800
400
500
成本（元/千克）
11
9
4
某食物營養(yǎng)研究所想用 千克甲種食物,千克乙種食物,千克丙種食物配成100千克的混合食物,并使混合食物至少含56000單位維生素 和63000單位維生素 ．（1）用 、 表示混合物成本 ．（2）確定 、 、 的值,使成本最低．
分析 找到線性約束條件及目標(biāo)函數(shù),用平行線移動法求最優(yōu)解．
解 （1）依題意：、 、 滿足
∴ 成本 （元）
（2）依題意
∵
∴
作出不等式組所對應(yīng)的可行域,如圖所示．
聯(lián)立
作直線 則易知該直線截距越小,越小,所以該直線過 時(shí),直線在 軸截距最小,從而 最小,此時(shí)7×50＋5×20＋400＝ ＝850元
∴ 千克,千克時(shí)成本最低．