一樓的回答是正確的,利用的是定積分的定義.
這個(gè)題可以算是 施洛澤定理應(yīng)用的典型例題
用Stloz定理做的.
若 n>N 時(shí),Yn < Y(n+1),且limYn＝+∞ n→+∞,
這時(shí)如果 lim [Xn - X(n-1)]/[Yn - Y(n-1)]= L(L為有限數(shù)或無窮大）
則有：lim Xn/Yn = L
這個(gè)題 令 Xn=1^(k-1)+.+n^(k-1),Yn=n^k
lim Xn/Yn = lim [Xn - X(n-1)]/[Yn - Y(n-1)]
= lim n^(k-1）/[n^k - (n-1)^k]
= 1/k
Stolz定理的證明如下：先證明L為有限的情況.
根據(jù)已知的：
（a） Yn < Y(n+1),
（b）limYn＝+∞ n→+∞,
（c）lim [X(n+1) - Xn]/[Y(n+1) - Yn]= L
則有：
對于任意的ε＞0,存在N,當(dāng)n > N時(shí) 恒有：
|[X(n+1) - Xn]/[Y(n+1) - Yn] - L| ＜0.5ε
因?yàn)椋篬Y(n+1) - Yn]＞0于是有：
(L-0.5ε)[Y(N+2)-Y(N+1)]＜[X(N+2) - X(N+1)]＜(L+0.5ε)[Y(N+2)-Y(N+1)]-----------(1)
(L-0.5ε)[Y(N+3)-Y(N+2)]＜[X(N+3) - X(N+2)]＜(L+0.5ε)[Y(N+3)-Y(N+2)]-----------(2)
.
(L-0.5ε)[Yn-Y(n-1)]＜[Xn - X(n-1)]＜(L+0.5ε)[Yn-Y(n-1)]---(m)
(L-0.5ε)[Y(n+1)-Yn]＜[X(n+1) - Xn]＜(L+0.5ε)[Y(n+1)-Yn]---(m+1)
把上面的m+1個(gè)不等式加起來得到：
(L-0.5ε)[Y（n+1)-Y(N+1)]＜[X(n+1) - X(N+1)]＜(L+0.5ε)[Y(n+1)-Y(N+1)]
即：|[X(n+1) - X（N+1)]/[Y(n+1) - Y(N+1)] - L| ＜0.5ε
再看：
[X(N+1)-L*Y(N+1)]/Yn + (1 + Y(N+1)/Yn)*([X(n+1) - X（N+1)]/[Y(n+1) - Y(N+1)] - L)
= Xn/Yn - L
因?yàn)?Yn→+∞,而X(N+1),L*Y(N+1) 這些都是一個(gè)具體的數(shù),那么
(1 + Y(N+1)/Yn)→1,[X(N+1)-L*Y(N+1)]/Yn →0.
所以存在一個(gè) M ＞N 當(dāng) n＞M時(shí),恒有：
|Xn/Yn - L|＜ε
L為有限時(shí)得證,當(dāng)L為∞時(shí),只需證明 |Yn/Xn - 0|＜ε即可證明
lim Xn/Yn =∞,+∞,-∞分開證明.