一道北大自主招生數(shù)學題
一道北大自主招生數(shù)學題
是否存在x,使tanx+根3 與cotx+根3是有理數(shù)?
是否存在x,使tanx+根3 與cotx+根3是有理數(shù)?
數(shù)學人氣：872 ℃時間：2020-01-30 01:56:30
優(yōu)質(zhì)解答
設(shè) tgx = t,cotx = 1/t tanx+根3 = a cotx+根3 = b a,b 均為有理數(shù).(a - 根3)(b - 根3) = t * 1/t = 1 ab + 3 - (a+b)*根3 = 1 (a+b) * 根3 = 2 + ab a+b 是有理數(shù),2 + ab 也是有理數(shù) ,而 根3 是無理數(shù),若想讓上式成立,只有 a + b = 0 則 ab = -2 而這樣的 a,b 不是有理數(shù),矛盾.所以不存在這樣的 x .
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