求曲線積分∫e^√(x²+y²)ds 其中l(wèi)為單位圓周、直線y=(√3)x及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的
整個(gè)邊界.
設(shè)單位園與ox軸得交點(diǎn)為A,與直線y=(√3)x得交點(diǎn)為B,那么
∫e^√(x²+y²)ds=【OA] ∫+【O⌒A】 ∫+【BO】 ∫
線段OA：x=t,y=0,0≦t≦1；
園弧O⌒A：x=cost,y=sint,0≦t≦π/3；
線段BO：x=(1/2)t,y=(√3/2)t,0≦t≦1；
故原式=【0,1】∫e^tdt+【0,π/3】∫[e^√(cos²t+sin²t)]√[(-sint)²+(cost)²]dt
+【1,0】∫[(e^√(t²/4+3t²/4)]√(1/4+3/4)dt
=(e-1)+【0,π/3】∫edt+【1,0】∫e^tdt
=(e-1)+(π/3)e+(1-e)=(π/3)e對(duì)于t，sint ,cost 中t是角，對(duì)于直線oA來(lái)說(shuō)t是參數(shù)，怎么可以？這是分段積分，各段的t的含意是不一樣的！對(duì)不同的線段，可以采用不同的參數(shù)，比如對(duì)直線段OA用m，對(duì)園弧段A⌒B用t，對(duì)直線段BO用n；但這僅僅是參數(shù)的名稱而已！無(wú)所謂的！我是懶得羅嗦，都用同一個(gè)t，但賦予了不同的含意。具體思路我懂了，采納了。只是。。我們不是一個(gè)題。我的根號(hào)下是x y 的平方和。還是謝謝你了。你這話我就不懂啦！怎么不是同一個(gè)題呢？聽我詳細(xì)道來(lái)：設(shè)曲線L的參數(shù)方程是x=φ(t)，y=ψ(t)；其中φ(t)，ψ(t)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng)參數(shù)t從α變到β時(shí)，曲線L上的點(diǎn)的路徑為弧AB，如果f(x，y)在弧AB上連續(xù)，則積分【A⌒B】∫f(x，y)ds存在，并且可以表達(dá)為定積分【A⌒B】∫f(x，y)ds=【α，β】∫f[φ(t)，ψ(t)]√[φ'(t)+ψ'(t)]dt；這是關(guān)于線積分定理的完整復(fù)述。下面再回到你的問(wèn)題：你給的積分路徑是一個(gè)半徑r=1，園心角θ=π/3的扇形的邊界OABO；直線段OA，其參數(shù)方程我選為x=φ(t)=t，y=ψ(t)=0，0≦t≦1；那么φ‘(t)=1，ψ'(t)=0；于是在OA段的積分=【0，1】∫[e^√(t²+0²)][√(1²+0²)]dt=【0，1】∫(e^t)dt=e^t【0，1】=e-e⁰=e-1；園弧A⌒B段，其參數(shù)方程為x=φ(t)=cost，y=ψ(t)=sint，0≦t≦π/3，φ'(t)=-sint，ψ’(t)=cost；于是在A⌒B段的積分=【0，π/3】∫[e^√(cos²t+sin²t)]√[(-sint)²+cos²t]dt=【0，π/3】∫edt=et【0，π/3】=(π/3)t；直線BA，其參數(shù)方程為x=φ(t)=(1/2)t，y=ψ(t)=(√3/2)t，t從1變到0，φ‘(t)=1/2，ψ'(t)=√3/2；于是在BA段的積分=【1，0】∫{e^√[(t/2)²+(t√3/2)²]}{√[(1/2)²+(√3/2)²=【1，0】∫e^tdt=e^t【1，0】=e⁰-e=1-e；故【L]∫e^√(x²+y²)ds=(e-1)+(π/3)t+(1-e)=(π/3)t；這是求解的最詳細(xì)的過(guò)程，你說(shuō)怎么與你的不是同一個(gè)題？如果是同一個(gè)題，那又該怎么作呢？我很希望聽到你的再追問(wèn)。