Rn內(nèi)任何n+1個向量構(gòu)成的nx(n+1)階矩陣A的秩r(A)<=n. 所以矩陣A中線性無關(guān)向量的個數(shù)為
m=r(A)<=n.所以不存在n+1個線性無關(guān)向量.
下面用這一結(jié)論證明"
不存在n+1個兩兩正交的非零向量
反證法.
設(shè)存在n+1個兩兩正交的向量a0,a1,a2,.an滿足
k0a0+k1a1+k2a2+.+knan=0
因為兩兩正交,兩邊同乘以aj (0<=j<=n)
得到了kj(aj)^2=0
因為aj非零向量,所以kj=0
即k0=k1=k2=.kn=0
所以,a0,a1...an是n+1個線性無關(guān)的向量,與
Rn中,不存在n+1個兩兩正交的非零向量.
矛盾,所以
不存在n+1個兩兩正交的非零向量