這個(gè)可以推出來(lái)的 課本上是用 完全歸納法 其實(shí)還有一種
由于(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
所以
2 ^3 = 1 ^3 + 3* 1 ^2 + 3* 1 + 1
3 ^3 = 2 ^3 + 3* 2 ^2 + 3* 2 + 1
4 ^3 = 3 ^3 + 3* 3 ^2 + 3* 3 + 1
5 ^3 = 4 ^3 + 3* 4 ^2 + 3* 4 + 1
… …
n ^3 = (n-1)^3 + 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) + 1
(n+1)^3 = n ^3 + 3* n ^2 + 3* n + 1
上面所有式子相加,并在兩邊同時(shí)減去相同的項(xiàng)：
(n+1)^3 = 1^3 + 3*[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]+3*[1+2+3+4+…+(n-1)+n]+n
不妨記[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]為S.
則n^3+3n^2+3n+1=1+3*S+3*(1+n)*n/2+n
化簡(jiǎn)得：S=n(n+1)*(2n+1)/6