答案選D
首先,△ABC確定一個小圓,設(shè)其圓心H,半徑為r,∠ABC=α,
因為AB⊥AC,所以BC是小圓的直徑,
BC=2r
AB=BCcosα=2rcosα
AC=BCsinα=2rsinα
連接AH并延長與球交于點P,DP的中點記為O,
則OH為△ADP的中位線,所以O(shè)H‖AD,AD=2OH
因為AD⊥AB,AD⊥AC,所以AD⊥面ABC,所以AD⊥AP,
所以△ADP又確定一個圓,DP是其直徑,O是圓心,
OH‖AD,AD⊥面ABC,所以O(shè)H⊥面ABC,
所以△ADP確定的圓是大圓,O是球心,OB=R,設(shè)∠OBC=β,則
r=OBcosβ=Rcosβ
OH=OBsinβ=Rsinβ
AD=2OH=2Rsinβ
綜上所述,
AB=2rcosα=2Rcosαcosβ
AC=2rsinα=2Rsinαcosβ
AD=2Rsinβ
所以
S=S△ABC+S△ABD+S△ACD
=0.5AB*AC+ 0.5AB*AD+0.5AC*AD
=0.5*2Rcosαcosβ*2Rsinαcosβ+ 0.5*2Rcosαcosβ*2Rsinβ+0.5*2Rsinαcosβ*2Rsinβ
=2R²cosαcos²βsinα+2R²cosαcosβsinβ+2R²sinαcosβsinβ
=2R²[cosαsinαcos²β+(cosα+sinα)cosβsinβ]
運用均值不等式cosα+sinα≥2√(cosαsinα)得
cosαsinα≤0.25(cosα+sinα)²,所以
S≤2R²[0.25(cosα+sinα)²cos²β+(cosα+sinα)cosβsinβ]
對于cosα+sinα應(yīng)該已經(jīng)很熟悉了,
cosα+sinα=√2sin(α+π/4),當(dāng)α=π/4時取得最大值√2.所以
S≤2R²[0.25(√2)²cos²β+(√2)cosβsinβ]
=2R²[0.5cos²β+(√2)cosβsinβ]
運用半角公式有
S≤2R²[0.25(1+cos2β)+(√2/2)sin2β]
=2R²[0.25+0.25cos2β+(√2/2)sin2β]
=2R²[0.25+0.75cos(2β-φ)] (tanφ=2√2)
≤2R²[0.25+0.75]
=2R²