=50-(1/2+1/3+.1/50)
=51-(1+1/2+1/3+.1/50)
會了不,希望一點就通哈因為
Euler(歐拉)在1734年,利用Newton的成果,首先獲得了調(diào)和級數(shù)有限多項和的值.結(jié)果是：
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r為常量)
Euler近似地計算了r的值,約為0.577218.叫著歐拉常數(shù).
也就是原題=51-ln(50+1)+0.577218
不知道你學(xué)過歐拉定律沒?恩你沒說你幾年級哈
1665年牛頓在他的著名著作《流數(shù)法》中推導(dǎo)出第一個冪級數(shù)：
ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ...
Euler(歐拉)在1734年,利用Newton的成果,首先獲得了調(diào)和級數(shù)有限多項和的值.結(jié)果是：
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r為常量)
他的證明是這樣的：
根據(jù)Newton的冪級數(shù)有：
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
于是：
1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n,就給出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
.
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加,就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + .
后面那一串和都是收斂的,我們可以定義
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
Euler近似地計算了r的值,約為0.577218.這個數(shù)字就是后來稱作的歐拉常數(shù).不過遺憾的是,我們對這個常量還知之甚少,連這個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)都還是個謎.