要使 兩個連續(xù)自然數(shù)n和n+1,乘積被67整除余43
那么,令N被67除的余數(shù)為M,M＜67
則N+1被67除的余數(shù)(必然)是M+1,M+1＜67,M＜66
則有 ：M(M+1) 被67 除的余數(shù)是43
因此即求M＜66的整數(shù)使得：
M(M+1) = 67K+43
顯然K ＜ (65*66-43)/67 ≈ 63.39,推得0≤K≤ 63,且K是奇數(shù).
令K = 2T+ 1,0≤T≤32 ,有：
M(M+1) = 134T + 110
M² + M - 110 = 134T
(M+11) (M-10) = 134T
顯然有解T=0,M=10.
除此之外,再令M-10=P,
P(P+21) = 134T = 2*67*T
P= M - 10 ＜ 66-10 = 56,P ＜ 56,P+21＜77.結(jié)合P的范圍,顯然只有如下方程成立：
P = 2T
P + 21 = 67
解得P = 46,T = 23,此時M = 46+10 = 56
綜上,有且僅有兩
M = 10、M +1 = 11
或
M = 56、M+1 = 57
因此,只需當N是 被67除余10,或余56的數(shù),則N*(N+1)被67除即余43
或說：
N*(N+1)被67除余43,則N是被67除余10、余56的數(shù)
例如N = 10、56、77、123、144、190……都行.
至于你說的“n和n+1乘積被a除余b,如何分析n與a的關(guān)系”,從上述步驟看來,假如
A、B互質(zhì),A+B = T(T+1)的話,顯然,N = T是1個基礎(chǔ)解,另一個基礎(chǔ)解是A-T-1