1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點P(x0,y0),則：
將A,B坐標(biāo)代入拋物線方程得：
y1²=2x1……①
y2²=2x2……②
①-②得：(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),
則,直線AB斜率：k=(y1-y2)/(x1-x2)=2/(y1+y2)=1/y0
又,Q(2,1)在AB上,則：k=(y0-1)/(x0-2)
即：1/y0=(y0-1)/(x0-2),整理得：y0²-y0+2=x0
即：AB中點的軌跡為：y²-y+2=x（拋物線）
2,整理曲線方程(k-1)x²=x+ky,得：k(x²-y)-x²-x=0
則,原曲線方程是：經(jīng)過x²-y=0……③和x²+x=0……④交點的曲線系方程.
聯(lián)立③,④,解方程組得：x=0,y=0,或x=-1,y=1
即：原曲線方程必過點(0,0),(-1,1)
3,整理x²/9+y²/4=1,得：x²/3²+y²/2²=1
設(shè)點P的作標(biāo)為（3cosα,2sinα）
點P到直線距離：h=｜3cosα+4sinα-10｜/√5
由輔助角公式acosx+bsinx=√(a²+b²)(acosx/√(a²+b²)+bsinx/√(a²+b²)),
h=｜5[(3/5)cosα+(4/5)sinα]-10｜/√5=｜5sin(α+β)-10｜/√5,（β= arctan(3/4)）
h最大=｜-5-10｜/√5=3√5