已知函數(shù)f(x)=2x³+px+r,g(x)=15x²+qInx (p,q,r∈R)
1、當r=-35時,f(x)和g(x)在x=1處有共同的切線,求p,q的值
2、已知函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在x=1處取得極大值-13,在x=x₁和x=x₂(x₁≠x₂) 處取得極小值,求(x₁+x₂)/x₁x₂的取值范圍.
1.f′(x)=6x²+p,f′(1)=6+p,f(1)=2+p+35=37+p,故過f(x)上的點(1,37+p)的切線方程為：
y=(6+p)(x-1)+37+p.(1)
g′(x)=30x+q/x,g′(1)=30+q,g(1)=15,故過g(x)上的點(1,15)的切線方程為;
y=(30+q)(x-1)+15.(2)
(1)和(2)是同一條直線,∴6+p=30+q,即有q=p-24.(3)；37+p=15,故p=-22；q=-46
此時(1)和(2)變成同一條直線：y=-16(x-1)+15=-16x+31.
2.h(x)=f(x)-g(x)=(2x³+px+r)-(15x²+qlnx)=2x³-15x²+px-qlnx+r
令h′(x)=6x²-30x+p-q/x=0.(4)
已知h′(1)=6-30+p-q=-24+p-q=0,故p-q=24.(5)
h(1)=2-15+p+r=-13+p+r=-13,故p+r=0.(6)
由(4)得6x³-30x²+px-q=0,x=1是其根,故配方得：
6x³-30x²+px-q=6x²(x-1)-24x(x-1)-(24-p)(x-1)+p-24-q=(x-1)(6x²-24x-24+p)=0(∵p-q-24=0)
于是得6x²-24x-24+p=0.(7)
(7)有相異二實根,故其判別式Δ=576-24(-24+p)=1152-24p>0,即有p1.