(1)直線的斜率為b/a,所以直線的方程為(b/a)x-y-b=0
所以直線到原點(diǎn)的距離d=|-b|/√(b/a)^2+1=√3/2
e^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=1-b^2/a^2=2/3
所以b^2/a^2=1/3,代入d的代數(shù)式,有b=1
所以a=√3
所以橢圓的方程為x^2/3+y^2=1
(2)內(nèi)切圓的半徑為r=2S÷C,當(dāng)中S表示三角形的面積,C表示三角形的周長(zhǎng)
我們知道,在橢圓中,橢圓上的點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)之和為常數(shù)即2a.
題目中的三角形的周長(zhǎng)為4a,即4√3.
連接PQ,直線所在的直線的方程為y=k(x-√2)-------經(jīng)過焦點(diǎn)F2(√2,0)
橢圓方程為x^2/3+y^2=1,變形為x^2+3y^2=3
聯(lián)立方程有
x^2=(y-k√2)^2/k^2
代入變形后的橢圓方程
y^2-2√2ky+2k^2+3k^2*y^2=3k^2
(3k^2+1)y^2-2√2ky-k^2=0
y1+y2即為三角形PF1F2和三角形QF1F2的高之和
y1+y2=2√2k/(3k^2+1)
底F1F2=2c=2√2
2*S三角形PQF2=2*(1/2)*2√2*2√2k/(3k^2+1)=8k/(3k^2+1)
三角形PQF2的周長(zhǎng)=4a=4√3
所以r=2S/C=2√3k/(9k^2+3)