作PM⊥y軸于M，PN⊥x軸于N，AH⊥x軸于H，如圖，設P點坐標為（a，b）
把x=4代入y=

1

2

x得y=2，則A點坐標為（4，2），
把A（4，2）代入y=

k

x

得k=4×2=8，
所以反比例函數(shù)解析式為y=

8

x

，
∵點A與點B關于原點對稱，點P與點Q關于原點對稱，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四邊形APBQ為平行四邊形，
∴S_△OPA=

1

4

S_{平行四邊形APBQ}=

1

4

×24=6，
∵S_矩形ONPM+S_梯形AHNP=S_△OPM+S_△OPA+S_△OAH，
∴8+

1

2

（2+b）（4-a）=4+6+4，
∵b=

8

a

，
∴（2+

8

a

）（4-a）=12，
整理得a²+6a-16=0，解得a₁=2，a₂=-8（舍去），
當a=2，b=

8

a

=4，
∴P點坐標為（2，4）．
同理，當四邊形BQPA是平行四邊形時，點P的坐標是（8，1）
故答案為（2，4）或（8，1）．