已知點F1,F2是橢圓的兩個焦點.點P在橢圓上,∠F1PF2=60度,求橢圓離心率的取值范圍

數(shù)學(xué)人氣：187 ℃時間：2019-08-18 19:16:18

優(yōu)質(zhì)解答

余弦定理：
F1F2^2 = F1P^2 + F2P^2 - 2F1P*F2Pcos ∠F1PF2
F1F2 = 2c
而 F1P + F2P = 2a,
所以 F1P^2 + F2P^2 = （F1P + F2P)^2 - 2F1P*F2P = 4a^2 - 2F1P*F2P
所以 4c^2 =4a^2 - 2F1P*F2P - F1P*F2P (因為 cos 60度 =1/2）
=4a^2 - 3F1P*F2P
所以 3F1P*F2P= 4(a^2 - c^2)
因為 F1P*F2P <= (F1P+F2P)^2/4 = a^2 （二次不等式）
所以4(a^2 - c^2) <= 3a^2
所以 a^2 <= 4c^2, 1/4 <= (c/a)^2 = e^2
所以 e>= 1/2
又因為 e<1
所以 1/2 <= e < 1