證明：
（1）
令：E_ij表示單位陣中的第i行和第j行對換，
則由題意B=E_ijA，而E_ij是初等矩陣，是可逆的，
又A是可逆的，
根據(jù)逆矩陣的乘積依然是可逆的，得：
B=AE_ij可逆．
（2）
∵B=E_ijA，
∴B^-1=（E_ijA）^-1=A^-1?E_ij^-1=A^-1E_ij，（E_ij的逆矩陣依然為本身）
從而：AB^-1=A?A^-1E_ij=E_ij．