弦中點軌跡方程問題...
弦中點軌跡方程問題...
已知p(4,4)為圓 c:x方+y方=36 內的一定點,圓周上有兩個動點A B,恒有PA·PB=0（向量）
求弦AB中點M的軌跡方程
已知p(4,4)為圓 c:x方+y方=36 內的一定點,圓周上有兩個動點A B,恒有PA·PB=0（向量）
求弦AB中點M的軌跡方程
數(shù)學人氣：631 ℃時間：2020-10-01 19:12:34
優(yōu)質解答
假設M(x0,y0),則OM斜率為y0/x0,由中垂線定理知AB斜率為-x0/y0;所以AB方程為y-y0=-x0/y0(x-x0)代入圓的方程整理得(x0^2+y0^2)x^2-(2x0^3+2x0y0^2)x+(x0^4+y0^4+2x0^2y0^2-36y0^2)=0;由PA*PB=0知兩者垂直所以應該有AB=2PM即｜AB｜^2=4|PM|^2=4[(x0-4)^2+(y0-4)^2];而由偉達定理|AB|^2=[(2x0^3+2x0y0^2)/(x0^2+y0^2)]^2-4(x0^4+y0^4+2x0^2y0^2-36y0^2)/(x0^2+y0^2)從而有[(2x0^3+2x0y0^2)/(x0^2+y0^2)]^2-4(x0^4+y0^4+2x0^2y0^2-36y0^2)/(x0^2+y0^2)=4[(x0-4)^2+(y0-4)^2]化簡即得!
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