“無理數(shù)的無理次冪為無理數(shù)”這句話明顯是錯的.
證明如下：設(shè)a、b均為無理數(shù),按照上面的結(jié)論,那么必有：a^b=c為無理數(shù)--------------------①
對于任意的有理數(shù)d,那么必然有d^(1/b)為有理數(shù),否則[d^(1/b)]^b=d為無理數(shù),矛盾
所以我們由①可以得出結(jié)論：
如果a為有理數(shù),b為無理數(shù),那么a^b=d為有理數(shù)----------------------------------------②
做一個函數(shù)：f（x）=2^x-1,定義域為(1,+∞)
那么對應(yīng)的值域也是(1,+∞),且是嚴(yán)格單調(diào)遞增的
按照②的結(jié)論,當(dāng)x為無理數(shù)的時候,f（x）為有理數(shù)!
也就是(1,+∞)上的無理數(shù)都能夠在(1,+∞）上找到一個唯一的映射
這是不可能的,因為無理數(shù)的基數(shù)比有理數(shù)的基數(shù)大.這是集合論的結(jié)論,通
俗點講就是說無理數(shù)比有理數(shù)多.
矛盾,所以①不成立.
證明的思路不一樣.