這種形式的遞推式我有兩種解法,待定系數(shù)法和不動點法,在此用不動點法解決此問題.
將原遞推式中的a[n]與a[n+1]都用x代替得到方程x=(ax+b)/(cx+d)
即cx²+(d-a)x-b=0
記方程的根為x1,x2(為了簡單起見,假設方程有兩實根)
原方程可以變形為-x(a-cx)=b-dx
所以-x=(b-dx)/(a-cx),將x1,x2代入得到
-x1=(b-dx1)/(a-cx1)
-x2=(b-dx2)/(a-cx2)
將遞推式兩邊同時減去x1得到a[n-1]-x1=[(a-cx1)a[n]+b-dx1]/(ca[n]+d)
即a[n-1]-x1=(a-cx1)[a[n]+(b-dx1)/(a-cx1)]/(ca[n]+d)
將-x1=(b-dx1)/(a-cx1)代入得到:
a[n-1]-x1=(a-cx1)(a[n]-x1)/(ca[n]+d)
同理:a[n-1]-x2=(a-cx2)(a[n]-x2)/(ca[n]+d)
兩式相除得到(a[n+1]-x1)/(a[n+1]-x2)=[(a-cx1)/(a-cx2)]*[(a[n]-x1)/(a[n]-x2)]
從而{(a[n]-x1)/(a[n]-x2)}是等比數(shù)列
(a[n]-x1)/(a[n]-x2)=[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)
所以a[n]={x2*[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-x1}/([(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-1}