思路:將根式內(nèi)表達式換為積的形式,多利用a+b+c=1這個重要的已知條件作為因子,通過均值不等式完成證明.
a+b+c=1,且a,b,c>0,則1+b-c>=0.
對a3√(1+b-c)有,3√(1+b-c)= 3√[(1+b-c)(a+b+c)(a+b+c)]≤[(1+b-c)+(a+b+c)+(a+b+c)]/3=(2+a+2b)/3.于是a3√(1+b-c)≤(2a+a^2+2ab)/3.
同理b3√(1+c-a)≤(2b+b^2+2bc)/3.
c3√(1+a-b)≤(2c+c^2+2ca)/3.
故a3√(1+b-c)+b3√(1+c-a)+c3√(1+a-b)≤(2a+a^2+2ab)/3+(2b+b^2+2bc)/3+(2c+c^2+2ca)/3=(2a+2b+2c+a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/3=[2+(a+b+c)^2]/3=1.
等號當且僅當a=b=c=1/3時成立.
設(shè)a,b,c為滿足a+b+c=1的正實數(shù),證明:a3√1+b-c+b3√1+c-a+c3√1+a-b≤1
設(shè)a,b,c為滿足a+b+c=1的正實數(shù),證明:a3√1+b-c+b3√1+c-a+c3√1+a-b≤1
設(shè)a,b,c為滿足a+b+c=1的正實數(shù),證明:a3√(1+b-c)+b3√(1+c-a)+c3√(1+a-b)≤1
3√為三次根號
設(shè)a,b,c為滿足a+b+c=1的正實數(shù),證明:a3√(1+b-c)+b3√(1+c-a)+c3√(1+a-b)≤1
3√為三次根號
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