從函數(shù)圖像與X軸相切于非原點(diǎn),且另有極小值-1來(lái)看,函數(shù)f(x)=x^3+bx^2+cx圖像是從左下向右上方延伸的,切于X軸后回落,因此有極大值0,再切于y=-1線后回升并且穿過(guò)原點(diǎn)（從函數(shù)公式代入X=0得Y=0可知）,然后一直向上.因此一元三次函數(shù)有兩個(gè)根,一個(gè)是切于x軸的重根,另一個(gè)是原點(diǎn)（0,0）.且重根是負(fù)數(shù)值.


根據(jù)一元三次方程判別公式,當(dāng)Δ=B^2－4AC=0時(shí),方程有三個(gè)實(shí)根,其中有一個(gè)二重根.
對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)一元三次方程：a'X^3+b'X^2+c'X+d'=0,本函數(shù)中a'=1,b'=b,c'=c,d'=0



判別式Δ中,根據(jù)本題的參數(shù)：A=b'^2-3a'c'=b^2-3c；B=b'c'-9a'd'=bc；C=c'^2-3a'd'=c^2


Δ=B^2－4AC=0,即(bc)^2-4(b^2-3c)(c^2)=b^2·c^2-4b^2·c^2+12c^3=12c^3-3b^2·c^2
=3c^2·(4c-b^2)=0.得c=0或c=(b^2)/4.


由于f(x)切于X軸和y=-1線,求f(x)一階導(dǎo)數(shù).f'(x)=3·x^2+2b·x+c,令f'(x)=3·x^2+2b·x+c=0.

即f'(x)=3·x^2+2b·x=0或f'(x)=3·x^2+2b·x+(b^2)/4=0.


由于f(x)有兩處導(dǎo)數(shù)為0(y=0和y=-1),所以f'(x)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.由一元二次方程的判別式：Δ=B^2－4AC>0得,(2b)^2>0（c=0)或者(2b)^2-12·(b^2)/4>0（c=(b^2)/4）,得b>0.


使用一元二次方程求根公式：f'(x)的根：x1、x2=(-B+-(B^2-4AC)^1/2)/2A,
當(dāng)c=0,x1、x2=(-2b+-2b)/6,x1=-2/3·b,x2=0
當(dāng)c=(b^2)/4,x1、x2={-2b+-[(2b)^2-4*3*(b^2)/4]^1/2}/6=(-2b+-b)/6,x1=-b/2,x2=-b/6


由函數(shù)f(x)曲線可知,當(dāng)取x1時(shí),曲線切于X軸,f(x)=0；取x2時(shí),切于y=-1線,f(x)=-1；x1<x2.觀察當(dāng)c=0時(shí),x2=0.當(dāng)X=0時(shí),曲線已經(jīng)穿過(guò)X軸上升,導(dǎo)數(shù)一定不為0,故此c=0情況不采用,只采用c=(b^2)/4的情況.


當(dāng)c=(b^2)/4,x1=-b/2,x2=-b/6,分別求f(-b/2)和f(-b/6).得f(-b/2)=0,f(-b/6)=-b^3/54.
因?yàn)閒(x1)=f(-b/2)=0,f(x2)=f(-b/6)=-b^3/54=-1,
所以b=54^(1/3)=3*2^(1/3),即2開(kāi)三次方再乘以3
       c=[9*4^(1/3)}/4,即4開(kāi)三次方再乘以9,然后除以4.  


可代入原函數(shù),取x1=-b/2,x2=-b/6驗(yàn)算,得出0和-1.