根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f （x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f （x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
優(yōu)質(zhì)解答
證明：證法一：在（-∞，+∞）上任取x
1，x
2且x
1＜x
2則f（x
2）-f（x
1）=x
13-x
23=（x
1-x
2）（x
12+x
1x
2+x
22）
∵x
1＜x
2，
∴x
1-x
2＜0．
當(dāng)x
1x
2＜0時(shí)，有x
12+x
1x
2+x
22=（x
1+x
2）
2-x
1x
2＞0；
當(dāng)x
1x
2≥0時(shí)，有x
12+x
1x
2+x
22＞0；
∴f（x
2）-f（x
1）=（x
1-x
2）（x
12+x
1x
2+x
22）＜0．
即f（x
2）＜f（x
1）
所以，函數(shù)f（x）=-x
3+1在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
證法二：在（-∞，+∞）上任取x
1，x
2，且x
1＜x
2，
則f（x
2）-f（x
1）=x
13-x
23=（x
1-x
2）（x
12+x
1x
2+x
22）．
∵x
1＜x
2，
∴x
1-x
2＜0．
∵x
1，x
2不同時(shí)為零，
∴x
12+x
22＞0．
又∵x
12+x
22＞
（x
12+x
22）≥|x
1x
2|≥-x
1x
2∴x
12+x
1x
2+x
22＞0，
∴f（x
2）-f（x
1）=（x
1-x
2）（x
12+x
1x
2+x
22）＜0．
即f（x
2）＜f（x
1）．
所以，函數(shù)f（x）=-x
3+1在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
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