設A為橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上的一動點,弦AB,AC分別過焦點F1,F2,當AC垂直于x軸時,恰好有|AF1|:|AF2|=3:1 .
求：（1）求橢圓離心率（2）設向量AF1=m向量F1B,向量AF2=n向量F2C,證明m+n為定值6
（1）設AF1=3x,則AF2=x
則3x+x=2a,x=a/2
所以AF1=3a/2,AF2=a/2
根據(jù)勾股定理
(3a/2)²=(a/2)²+(2c)²
4c²=2a²
c²/a²=1/2
e²=1/2
所以離心率e=√2/2
（2）c²=1/2a²,a²=b²+c²,所以b=c
橢圓方程變?yōu)椋簒²+2y²=2b²
焦點坐標F1（-b,0）,F2（b,0）
設點A（x0,y0）B（x1,y1）C（x2,y2）
m=向量AF1/向量F1B,n=向量AF2/向量F2C
即m=-y0/y1,n=-y0/y2
直線AC斜率：y0/(x0-b)
設直線AC方程：x=[(x0-b)/y0]y+b
代入橢圓方程：x²+2y²=2b²
整理：(3b-2x0)y²+2(x0-b)y0y-by0²=0(注：x0²+2y0²=2b²)
韋達定理：y0y2=-by0²/(3b-2x0)
y2=-by0/(3b-2x0)
n=-y0/y2=(3b-2x0)/b
直線AB的方程：x=[(x0+b)/y0]y-b
代入橢圓方程：x²+2y²=2b²
整理：(3b+2x0)y²-2b(x0+b)y-by0²=0
韋達定理：y0y1=-by0²/(3b+2x0)
y1=-by0/(3b+2x0)
m=-y0/y1=(3b+2x0)/b
m+n=(3b+2x0)/b+(3b-2x0)/b=6b/b=6
當AC斜率不存在的時候,即AC垂直x軸
y0=-y2,所以n=1
x0=b,m=(3b+2b)/b=5
m+n=6亦成立
證畢.