A^2=0 => A 的 Jordan 塊只能是 1 階或 2 階
所以這里 A 的 Jordan 型在不計(jì)次序的情況下只有一種結(jié)構(gòu) (注意 A 非零)
J =
0 1 0
0 0 0
0 0 0
所以 A 就是所有形如 PJP^{-1} 的矩陣,P 取遍 3 階可逆陣
當(dāng)然,這個(gè)問(wèn)題規(guī)模比較小,還可以把上述乘法乘出來(lái)進(jìn)一步化簡(jiǎn),得到 A = xy^T,其中 x 和 y 取遍滿足所有 y^Tx=0 的列向量如果沒(méi)學(xué)過(guò) Jordan 型，3 階的還能做，但是高階大概不好辦對(duì) A 的秩進(jìn)行分析，顯然 A 的秩只能是 1 或者 2如果 rank(A) = 2，那么把 A^2 = 0 視作方程 AX=0 有非零解 A，但是 A 的解空間是 1 維的，不可能有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，矛盾，由此推出 rank(A) = 1既然 A 是秩 1 矩陣，那么可以寫成 A = xy^T 的形式，其中列向量 x 和 y 都非零，再利用 A^2 = (y^Tx)A 得到 y^Tx=0反過(guò)來(lái)再驗(yàn)證一下滿足 y^Tx=0 的所有非零向量 x 和 y 都可以用于生成滿足條件的矩陣 A，原來(lái)的回答里沒(méi)有寫清楚“非零”列向量的要求