1.A^2=A,即是A^2-A=0,即A(A-E)=0,所以R(A)+(A-E)小于或等于n,
又因?yàn)锳+(E-A)=E,所以R(A)+(A-E)＝R(A)+R(E-A)大于或等于n,
于是R(A)+(A-E)＝n.
2.由A(A-E)=0可知A-E的每一列都是Ax=0的解,類似地可以知道,A的每一列也都是(A-E)x=0的解.
3.A的特征值只能是1或0.證明如下：設(shè)λ是A的任意一特征值,α是其應(yīng)對(duì)的特征向量,則有
Aα=λα,于是(A^2-A)α=(λ^2-λ)α=0,因?yàn)棣敛皇橇阆蛄?于是只能有λ^2-λ＝0,所以λ＝1或λ=0
4.矩陣A一定可以對(duì)角化.因?yàn)锳-E的每一非零列都是Ax=0的解,所以A-E的每一個(gè)非零列都是λ＝0的特征向量,同理A 的每一個(gè)非零列都是λ＝1的特征向量,再由R(A)+(A-E)＝n可知矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,所以A可以對(duì)角化.
暫時(shí)只能想到 這些了,希望對(duì)你有所幫助.