證明：m*n矩陣A和B等價(jià)＜＝＞r(A)=r(B).

數(shù)學(xué)人氣：515 ℃時(shí)間：2020-01-29 06:38:53

優(yōu)質(zhì)解答

設(shè)矩陣A,B等價(jià),所以存在可逆矩陣P,Q,使得 B=PAQ
由于P可逆,因此,矩陣A與PA有相同的秩
而Q可逆,因此,矩陣PA與PAQ有相同的秩,即矩陣 A與B有相同的秩.
這就證明了：m*n矩陣A和B等價(jià)＝＞r(A)=r(B).
設(shè) r(A)=r(B)=r
記C為如下的m*n矩陣,其左上角為一r階單位矩陣,其它為0
Er 0
0 0.
于是存在可逆矩陣 P,Q使得 PAQ=C,
同樣存在可逆矩陣 R,S使得 RBS=C.
因此 PAQ=RBS
B=R的逆*PAQ*S的逆,由于R的逆*P 與 Q*S的逆都是可逆矩陣,于是 A與B等價(jià).
這就證明了：r(A)=r(B).＝＞矩陣A和B等價(jià).