已知正項數(shù)列{an}對任意自然數(shù)n都有a1^2+a2^+a3^2+……+an^2=(4^n-1)/3 求a1+a2+……an的值
已知正項數(shù)列{an}對任意自然數(shù)n都有a1^2+a2^+a3^2+……+an^2=(4^n-1)/3 求a1+a2+……an的值
數(shù)學人氣：692 ℃時間：2019-11-23 05:45:33
優(yōu)質(zhì)解答
a1²=(4-1)/3=1
又數(shù)列為正項數(shù)列,各項均為正,因此a1=1
a1²+a2²+...+an²=(4ⁿ-1)/3 (1)
a1²+a2²+...+a(n-1)²=[4^(n-1) -1]/3(2)
(1)-(2)
an²=4^(n-1)=[2^(n-1)]²
an=2^(n-1)
n=1時,a1=2^0=1,同樣滿足.
數(shù)列{an}的通項公式為an=2^(n-1)
a1+a2+...+an=2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)=(2ⁿ-1)/(2-1)=2ⁿ -1
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