f(x) = lnx - ax
f'(x) = 1/x - a
令 f'(x)=0,得到x=1/a
所以 x=1/a 為 f(x) 的一個(gè)極值點(diǎn)
且 f‘(x)=0 只有一個(gè)根,所以 f(x) 只有一個(gè)極值點(diǎn)
顯然
當(dāng) x < 1/a 時(shí) f'(x) > 0
當(dāng) x > 1/a 時(shí) f'(x) < 0
即 f(x) 在 (0,1/a) 上單調(diào)增
f(x) 在 (1/a,+∞) 上間調(diào)減
所以 x=1/a 為 f(x) 的極大值點(diǎn)
函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn),那么極大值點(diǎn)就是函數(shù)的最大值點(diǎn)
所以f(x)的最大值為
f(1/a) = ln(1/a) - 1
顯然
如果 f(1/a) <0,那么f(x) = 0就無(wú)實(shí)根,因?yàn)楹瘮?shù)的最大值都小于0,不可能有等于0的點(diǎn)
如果 f(1/a) =0,那么f(x) = 0就有且僅有一個(gè)實(shí)根
如果 f(1/a) >0,那么f(x)=0就有兩個(gè)實(shí)根,因?yàn)閤→0時(shí),f(x)<0,x→+∞,f(x)<0
令f(1/a)=0,得到a=1/e
即當(dāng) a>1/e 時(shí) f(1/a)<0,f(x) = 0無(wú)實(shí)根,即原方程 lnx = ax 無(wú)實(shí)根；
即當(dāng) a=1/e 時(shí) f(1/a)<0,f(x) = 0有且僅有一個(gè)實(shí)根,即原方程 lnx = ax 有且僅有一個(gè)實(shí)根；
即當(dāng) a<1/e 時(shí) f(1/a)<0,f(x) = 0有兩個(gè)實(shí)根,即原方程 lnx = ax 有兩個(gè)實(shí)根
下圖中對(duì)應(yīng)了以上三種情況,直線(xiàn)與曲線(xiàn)分別沒(méi)有交點(diǎn),只有一個(gè)交點(diǎn),有兩個(gè)交點(diǎn)
