無窮小是指極限為0,而極限的定義,在這里是用ε-N語言寫出來的.
即這里的n→∞時,(n+1)/(n^2+1)→0,
對任意一個ε(是個任意小,當然可以如你的假定0<ε<2,也可以假定0<ε<1或0<ε<1/2等等都是對的,有時那樣選取只是為了方便解題的說明),
我們需要|(n+1)/(n^2+1)-0|<ε,即（n+1)/(n^2+1)<ε.
對(n+1)/(n^2+1)放縮,有(n+1)/(n^2+1)<(n+1)/n^2<(n+n)/n^2=2/n<ε,即只要n>2/ε.
取N=[2/ε],這樣就形成了完整的極限定義：
對任意一個ε>0,存在N=[2/ε],只要當n>N,就有|(n+1)/(n^2+1)-0|<ε.
過程并不麻煩,而且很有邏輯,多做一些練習(xí)就會熟悉了.那就上面那道題，我不設(shè)定ε（0<ε<2)這個，就直接做題行不行？開頭假設(shè)小于2，你有沒有發(fā)現(xiàn)，它的作用就是使得最后的N=[2/ε]是個>1的正整數(shù)，為了保證這個，我們是可以假設(shè)它是更小的，0<ε<1或0<ε<1/2。其實都知道的這個ε是任意小的，你限定范圍是很嚴格的說明，非常好，不限定一般也不會有人說你錯的。所以最后是限定，按最后的結(jié)果來限定。