你這個結(jié)論是不正確的
我們不妨用子列來證明這個極限的存在性
構(gòu)造子列{nπ}{2nπ+π/2},這里n為自然數(shù)
顯然,當n→+∞時,lim(nπ)=+∞ lim(2nπ+π/2)=+∞
對于兩個子列分別有
lim[tanx/x]=lim[(sin(nπ)/nπ)*(1/cosnπ)]=0
lim[tanx/x]=lim[(sin(2nπ+π/2)/(2nπ+π/2))*(1/cos(2nπ+π/2))]=+∞
我們已經(jīng)知道如下事實,如果x→+∞,limf(x)=lim[tanx/x]如果存在則,其任何以+∞為極限的數(shù)列xn,當n→+∞,有l(wèi)imf(xn)存在且等于limf(x)
反過來,當存在兩個數(shù)列{xn},使得limf(xn)不存在或者不相等的時候,極限
limf(x)就不存在
所以,根據(jù)上述討論當x→+∞時,limf(x)=lim[tanx/x]不存在.