在任意△ABC中,設(shè)c為最大邊,那么∠C就是最大角
即,∠C＞∠B≥∠A
所以,∠A+∠B+∠C＜∠C+∠C+∠C=3∠C
又,在三角形ABC中,∠A+∠B+∠C=180°
所以：3∠C＞180°
即：60°＜∠C＜180°,且∠C≠90°……………………（1）
而,在△ABC中,根據(jù)余弦定理有：
c^2=a^2+b^2-2abcosC………………………………………（2）
所以,由(1)知,當(dāng)60°＜∠C＜90°時,cosC＞0
那么,由(2)知道：
c^2＜a^2+b^2
當(dāng)90°＜∠C＜180°時,cosC＜0
那么,由(2)知道：
c^2＞a^2+b^2
綜上：
當(dāng)c為最大邊時：
1)若△ABC為銳角三角形,那么就有：c^2＜a^2+b^2
2)若△ABC為鈍角三角形,那么就有：c^2＞a^2+b^2
當(dāng)然,
3）若△ABC為直角三角形,那么就有：c^2=a^2+b^2
當(dāng)△ABC為銳角三角形時,
作CD⊥AB,垂足D,設(shè)AD=m,則BD=c-m
根據(jù)勾股定理有：
b²-m²=CD²,（a-m)²+CD²=c²
即（a-m)²+b²-m²=c²
a²-2am+b²=c²
a²+b²-c²=2am＞0（a,m都是正數(shù)）
所以a²+b²＞c²
若△ABC為鈍角三角形,
b²-m²=CD²,（a+m)²+CD²=c²
a²+2am+b²=c²
c²-（a²+b²）=2am＞0
所以c²＞a²+b²