設(shè)a(n) = 2^(2^n) + 2^(2^(n-1)) + 1,b(n) = 2^(2^n) - 2^(2^(n-1)) + 1,
則a(n) = 2^(2^n) + 2^(2^(n-1)) + 1
= 2^(2^n) + 2 * 2^(2^(n-1)) + 1 - 2^(2^(n-1))
= (2^(2^(n-1)) + 1)^2 - (2^(2^(n-2)))^2
= (2^(2^(n-1)) + 1 + 2^(2^(n-2)))*(2^(2^(n-1)) + 1 - 2^(2^(n-2)))
= a(n - 1) * b(n - 1)．
故a(n) = a(n - 1) * b(n - 1)= a(n - 2) * b(n - 2) * b(n - 1)
= ...= a(1) * b(1) * b(2) * ...* b(n -1)．
顯然a(n) > 1,b(1),...,b(n - 1) > 1,所以a(1),b(1),...,b(n - 1)都有素因子．
因為a(n) - b(n) = 2 * 2^(2^(n-1)),
即a(1) * b(1) * b(2) * ...* b(n -1) - b(n) = 2 * 2^(2^(n-1))．
而a(1),b(1),...,b(n - 1),b(n)都是奇數(shù),
故乘積a(1)b(1)...b(n - 1)與b(n)互素．
因此a(1),b(1),...,b(n - 1)中的每一個都與b(n)互素．
這說明對于{b(n)}中的任意兩項b(k)與b(j),b(k)與b(j)都沒有公共的素因子．
而且,{b(n)}中的每項b(k)與a(1)也都沒有公共的素因子．
故a(1),b(1),...,b(n - 1)中任意兩個所包含的素因子都是不同的．
所以,他們的乘積a(n) = a(1) * b(1) * b(2) * ...* b(n -1)至少包含n個不同的素因子．