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  • f(x)為定義在R上的非0函數(shù),有f(x+y)=f(x)*f(y),且f'(0)=1,求f(x)

    f(x)為定義在R上的非0函數(shù),有f(x+y)=f(x)*f(y),且f'(0)=1,求f(x)
    數(shù)學(xué)人氣:866 ℃時(shí)間:2020-10-01 06:57:44
    優(yōu)質(zhì)解答
    f(x+y)=f(x)*f(y)
    令x=y=0:f(0)=f^2(0),則,f(0)=1或f(0)=0
    同時(shí)f(x)為非零函數(shù),故:f(0)=1
    而,
    f'(x)
    =lim(△x→0) (f(x+△x)-f(x)) / △x
    =lim(△x→0) f(x)*(f(△x)-1) / △x
    =f(x) * lim(△x→0) (f(△x)-1) / △x
    =f(x) * lim(△x→0) (f(0+△x)-f(0)) / △x
    =f(x) * f'(0)
    =f(x)
    那么,
    f'=df/dx=f
    df/f=dx
    同積分:
    ∫ 1/f df = ∫ dx
    ln(f(x))=x+c
    同取為指數(shù):
    f(x)=e^(ln(f(x)))=e^(x+c)
    因此,f(x)=e^(x+c)
    再代入初值條件:f'(0)=1,即得:f(x)=e^x
    驗(yàn)證:
    f'(0)=e^(0)=1
    f(x+y)=e^(x+y)=e^x * e^y=f(x) * f(y)
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