有一個任意三角形ABC,M.N分別為AC.BC上任意點 ,求在AB上一點P,使得三角形PMN的周長最小

數(shù)學(xué)人氣：253 ℃時間：2020-05-10 10:40:19

優(yōu)質(zhì)解答

兩種方法：
（1）作M關(guān)于AB的對稱點M',連結(jié)M'N,交AB于一點,這一點即為所求的P點.
（2）作N關(guān)于AB的對稱點N',連結(jié)MN',交AB于一點,這一點即為所求的P點.
證明如下：
作N關(guān)于AB的對稱點N',連結(jié)MN',交AB于一點P；則AB垂直平分NN'
連接PN,則PN=PN'；
∴△PMN的周長為：C=MN+MP+PN=MN+MP+PN'=MN+MN'；
現(xiàn)在邊AB上任取一點P',P'與P不重合；
連接P'M,P'N',P'N；則P'N=P'N'；
在△P'MN'中,有P'M+P'N'＜MN'.
∴在△P'MN的周長C'=MN+MP'+P'N=MN+MP'+P'N'＜MN+MN'=C；
即點P為所求的點