求極限lim(n→無窮大)sin{[根號(n^2+1)]*π}（要求運用“夾逼準則”來解,老師給的提示是利用X>=sinX）

數(shù)學(xué)人氣：983 ℃時間：2019-08-19 00:01:37

優(yōu)質(zhì)解答

√n² ＜√(n²+1) ＜√[n²+1+1/(4n²)]即 n ＜√(n²+1) ＜ n + 1/(2n) lim(n→∞)sin(nπ)= 0 lim(n→∞)sin{[n+1/(2n)]π} = lim(n→∞) [sin(nπ)cos(π/2n)+ cos(nπ)sin(π/2n)]...“n ＜√(n²+1) ＜ n + 1/(2n)”—→“sin nπ ＜sin(√(n²+1))π ＜sin(n + 1/(2n))π”為什么可以這樣轉(zhuǎn)化的？x→無窮時sinX不是單調(diào)的呀當n→∞時，在區(qū)間[nπ ,nπ+π/(2n)] 內(nèi)，y=sinx是單調(diào)的，因此上式是可以這樣轉(zhuǎn)化的。