已經(jīng)有了 3 個(gè)特解,注意分析它們的特征就能夠得到結(jié)論.
y3 = e^x / 2 是 xy'' + 2y'- xy = e^x 的特解；
y1 = (x + 2) e^x / (2x) = e^x / x + e^x / 2 = e^x / x + y3 也是 xy'' + 2y'- xy = e^x 的特解,可以知道
【 u(x) = e^x / x 】是齊次部分 xy'' + 2y'- xy = 0 的特解；
y2 = (x * e^(2x)+ 2) / (2x * e^x) = e^(-x) / x + e^x / 2 = e^(-x) / x + y3 也是 xy'' + 2y'- xy = e^x 的特解,可以知道【 v(x) = e^(-x) / x 】 是齊次部分 xy'' + 2y'- xy = 0 的特解；
綜上,可以知道通解為：
y = C1 * u(x) + C2 * v(x) + y3 = C1 * e^x / x + C2 * e^(-x) / x + e^x / 2
其中,C1,C2為任意常數(shù).