1.考慮向量組A={a1,a2,...,an}的秩：它由n個(gè)向量組成,所以R(A)<=n；向量組E={e1,e2,...,en}可由A線性表示,所以R(E)<=R(A),再由{e1,e2,...,en}是R^n的一組基可知R(E)=n,所以R(A)>=n.綜合可知R(A)=n.A由n個(gè)向量組成,且秩為n,所以這n個(gè)向量線性無關(guān).
2.假設(shè)它們線性無關(guān),則向量組A={a1,a2,...an}的秩為n,所以是R^n的一組基（因?yàn)镽^n的維數(shù)也是n）,所以任一n維向量都可由它們線性表示.
假設(shè)任一n維向量都可由它們線性表示,則特別地,n維單位坐標(biāo)向量{e1,e2,...,en}可由它們線性表示,再由1即知它們線性無關(guān).
3.假設(shè)R(K)假設(shè)向量組B線性相關(guān),則存在不全為零的x1,x2,...,xr使得x1*b1+x2*b2+...+xr*br=0.記x=(x1,x2,...,xr),則上式說明Bx=0,所以(AK)x=A(Kx)=0.但向量組A線性無關(guān),所以必有Kx=0.這說明方程組Kx=0（x是r維向量）有非零解,知R(K)綜合可知向量組B線性相關(guān)的充要條件是R(K)