證明不等式：[(n+1)/e]^(n)

數(shù)學(xué)人氣：456 ℃時間：2020-05-07 21:57:41

優(yōu)質(zhì)解答

由于[(n+1)/e]^ne*[n/e]^n取e為底的對數(shù)ln,轉(zhuǎn)化成nln(n)-n+1因為對數(shù)函數(shù)單調(diào)增,于是int_{n-1}^n[ln x]dx 又因為ln(n!)=ln1+ln2+...+ln n；
于是int_1^n[ln x]dx根據(jù)int_1^n[ln x]dx=nln x-n+1,欲證的不等式成立.
也許你需要證明一下(1+1/n)^n首先證明(1+1/n)^n是隨n單調(diào)增的,你可以用取對數(shù)后泰勒展開作數(shù)列比較也可以直接多項式展開比較結(jié)合歸納法；其次證明當(dāng)n趨無窮大時(1+1/n)^n=e,證明則可以取對數(shù)后泰勒展開,可證nln(1+1/n)=1.方法也許有許多.