已知 x₁ x₂是方程x^2-x-9=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求代數(shù)式x₁^3 +7x₂^2 +3x₂-66

數(shù)學(xué)人氣：543 ℃時(shí)間：2020-02-05 15:42:29

優(yōu)質(zhì)解答

已知x₁、x₂是方程x²-x-9=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求代數(shù)式x₁³ +7x₂² +3x₂-66.
因?yàn)閤₁是方程的根,代入原方程,得：
x₁²-x₁-9=0
x₁²=x₁+9
易知x₁、x₂≠0,上式兩邊同時(shí)乘以x₁,得：
x₁³=x₁²+9x₁=(x₁+9)+9x₁=10x₁+9
同理,x₂²=x₂+9,
所以：
x₁³ +7x₂² +3x₂-66
=(10x₁+9)＋7(x₂+9)＋3x₂-66
=10x₁+9+7x₂+63+3x₂-66
=10(x₁+x₂)+6
由韋達(dá)定理,得：x₁+x₂=1,則：
x₁³ +7x₂² +3x₂-66=16