若x,y,z均為正實(shí)數(shù),且x^2+y^2+z^2=1,則S=(z+1)^2/2xyz的最小值是
若x,y,z均為正實(shí)數(shù),且x^2+y^2+z^2=1,則S=(z+1)^2/2xyz的最小值是
數(shù)學(xué)人氣：423 ℃時(shí)間：2020-05-21 21:40:40
優(yōu)質(zhì)解答
2xy ≤ x^2+y^2 = 1 - z^2,僅當(dāng)x=y時(shí)成立
∴S = (z + 1)^2 / 2xyz
≥ (z + 1)^2 / z(1 - z^2)
= (z + 1) / z(1 - z)
= - 1 / [(z+1) - 3 + 2/(z+1)]
由于(z+1) + 2/(z+1) - 3 ≥ 2√2 - 3,等號(hào)當(dāng)z+1 = 2/(z+1),亦即z = √2-1時(shí)成立.
所以 - 1 / [(z+1) - 3 + 2/(z+1)] ≥ 1/(3 - 2√2) = 3 + 2√2,
S的最小值為3 + 2√2,當(dāng)z = √2-1時(shí)成立.
不難求出,此時(shí)的x = y = √(√2 - 1).
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