角平分線定理 ■ 角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線,把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫做這個(gè)角的角平分線.
■ 三角形的角平分線定義：三角形頂點(diǎn)到其內(nèi)角的角平分線交對(duì)邊的點(diǎn)連的一條線段,叫三角形的角平分線.
【注】三角形的角平分線不是角的平分線,是線段.角的平分線是射線.
■拓展：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等!(即內(nèi)心).
■定理1：角平分線上的任意一點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.
■逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂角）,且到這個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.
■定理2：三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例,
如：在△ABC中,AD平分∠BAC,則BD：DC=AB：AC
證明:
任意△ABC,AD為∠BAC的角平分線
由正弦定理可知
BD/sin∠BAD=AD/sinB
DC/sin∠CAD＝AD/sinC
由上式可以得
BD/DC＝sinC/sinB
又因?yàn)锳B/sinC=AC/sinB
所以sinC/sinB＝AB/AC
所以BD/DC＝AB/AC
外角和內(nèi)角差不多