柯西積分定理
復(fù)變函數(shù)論的核心定理 . 它討論一個區(qū)域D上的復(fù)函數(shù)在什么條件下在D上積分與路徑無關(guān) , 最簡單的柯西積分定理的形式為：當(dāng)D是單連通區(qū)域 ,而f（z）是D上的解析函數(shù)時,以下3個互相等價的結(jié)論成立 ： ① f（z） 在D內(nèi)沿任意可求長曲線積分與路徑無關(guān).②f（ z ）在 D內(nèi)沿任意可求長閉曲線積分為零.③f（z ）在D上有原函數(shù) . 如果在連續(xù)函數(shù)類中討論,則以上定理還是可逆的.柯西定理有以下常用的變化的形式 ：①D 是由幾條簡單光滑閉曲線圍成的有界區(qū)域,記L＝D,f（z）在D上解析,在Image:柯西積分定理1.在DUL上連續(xù),則必有
②在上述條件下 ,若 L＝L0＋…＋L即D由L0,…,L所圍成,
作為柯西積分定理的應(yīng)用,有同樣可作為解析函數(shù)充要條件的柯西積分公式：f（z）在上連續(xù) ,在D內(nèi)解析的充要條件是.
.柯西積分公式是證明一系列解析函數(shù)重要性質(zhì)的工具,首先是證明了圓盤上的解析函數(shù)一定可展為冪級數(shù) ,從而證明了 A.-L.柯西與K.魏爾斯特拉斯關(guān)于解析函數(shù)兩個定義的等價性 ,其次證明了解析函數(shù)是無限次可微的,從而其實(shí)部與虛部也是無限次可微的調(diào)和函數(shù).柯西積 分定理 已推廣到沿同 倫曲線或沿同調(diào)鏈 積分的形式.柯西積分公式在多復(fù)變函數(shù)中也有許多不同形式.