復(fù)變函數(shù)論的奠基人
19世紀(jì),復(fù)變函數(shù)論逐漸成為數(shù)學(xué)的一個獨(dú)立分支,柯西為此作了奠基性的工作.
復(fù)函數(shù)與復(fù)冪級數(shù)
《分析教程》中有一半以上篇幅討論復(fù)數(shù)與初等復(fù)函數(shù),這表明柯西早就把建立復(fù)變函數(shù)論作為分析的一項(xiàng)重要工程.他以形式方法引進(jìn)復(fù)數(shù)（“虛表示式”）,定義其基本運(yùn)算,得到這些運(yùn)算的性質(zhì).他比照實(shí)的情形定義復(fù)無窮小與復(fù)函數(shù)的連續(xù)性.
復(fù)積分柯西寫于1814年的關(guān)于定積分的論文是他創(chuàng)立復(fù)變函數(shù)論的第一步.文中給出了所謂柯西－黎曼方程；討論了改變二重積分的次序問題,提出了被積函數(shù)有無窮型間斷點(diǎn)時主值積分的觀念并計(jì)算了許多廣義積分.
柯西寫于1825年的關(guān)于積分限為虛數(shù)的定積分的論文,是一篇力作.文中提出了作為單復(fù)變函數(shù)論基礎(chǔ)的“柯西積分定理”.柯西本人用變分方法證明了這條定理,證明中曲線連續(xù)變形的思想,可以說是“同倫”觀念的萌芽.文中還討論了被積函數(shù)出現(xiàn)一階與m階極點(diǎn)時廣義積分的計(jì)算.
殘數(shù)演算術(shù)語“殘數(shù)”首次出現(xiàn)于柯西在1826年寫的一篇論文中.他認(rèn)為殘數(shù)演算已成為“一種類似于微積分的新型計(jì)算方法”,可以應(yīng)用于大量問題.
復(fù)變函數(shù)論的建立