若n為自然數(shù)，n+3與n+7都是質(zhì)數(shù)，求n除以3所得的余數(shù)．

數(shù)學(xué)人氣：314 ℃時間：2020-01-30 17:33:58

優(yōu)質(zhì)解答

∵n除以3所得的余數(shù)只可能為0、1、2三種．
①若余數(shù)為0，即n=3k（k是一個非負(fù)整數(shù)，下同），則n+3=3k+3=3（k+1），所以3|n+3，又3≠n+3，故n+3不是質(zhì)數(shù)，與題設(shè)矛盾．
②若余數(shù)為2，且n=3k+2，則n+7=3k+2+7=3（k+3），故3|n+7，n+7不是質(zhì)數(shù)；與題設(shè)矛盾．
所以n除以3所得的余數(shù)只能為1．