已知如圖RT三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,D為BC邊上任意一點,求證2AD平方=BD的平方+CD的平方
已知如圖RT三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,D為BC邊上任意一點,求證2AD平方=BD的平方+CD的平方
數(shù)學人氣：351 ℃時間：2019-12-13 07:25:09
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過D作AB、AC的垂線DE、DF,垂足為E、F,則∠AED=90°,∠AFD=90° 又∵ ∠BAC=90° ∴∠EDF=90° ∴ 四邊形AEDE為矩形 ∴ AE=DF,AF=DE,AD為矩形的對角線 令AE=DF=a,AF=DE=b,則根據(jù)勾股定理可得：AD^2=a^2+b^2 ∵∠BAC=90°,AB=AC ∴△BAC為等腰直角三角形 ∴∠B=∠C=45° 又∵∠AED=90°,∠AFD=90° ∴∠BED=90°,∠CFD=90° ∴△BED和△CFD均為等腰直角三角形 ∴ CF=DF=a,BE=DE=b 又在Rt△BED和Rt△CFD中,根據(jù)勾股定理可得：∴ BD^2=BE^2+DE^2=b^2+b^2=2b^2 CD^2=CF^2+DF^2=a^2+a^2=2a^2 ∴ BD^2+CD^2=2(a^2+b^2) 又∵AD^2=a^2+b^2 ∴ BD^2+CD^2=2AD^2
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