奇數(shù)項等于－1,偶數(shù)項等于1,這個數(shù)列有界,但是不收斂,下面是收斂一定有界的證明
目的是證明收斂數(shù)列的有界性.數(shù)列{Xn}收斂到a,根據(jù)極限定義對于任意E＞0,存在正整數(shù)N,當n＞N,不等式/Xn-a/＜E都成立,此處E可以選為1.直觀地想就是當n趨于無窮的時候,Xn的值無限接近a,為了準確描述這一性質(zhì),引入了N.當n>N時,所有的Xn都有上限,都要小于E+|a|.就是Xn無限接近a,在n>N之后,所有Xn都小于a加上個正數(shù)（E）.到此證明了從N開始,數(shù)列都是有界的（都小于E+|a|）.下面要證明n有界不能反推收斂，舉個例子，奇數(shù)項等于－1，偶數(shù)項等于1，這個數(shù)列有界，但是不收斂。cos(npi),這個數(shù)列也是有界但不收斂的。