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  • 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,數(shù)列{bn}滿足bn=anan+m(m∈N*). (Ⅰ)若b1,b2,b8成等比數(shù)列,試求m的值; (Ⅱ)是否存在m,使得數(shù)列{bn}中存在某項(xiàng)bt滿足b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差數(shù)列?若存

    設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,數(shù)列{bn}滿足bn=
    an
    an+m
    (m∈N*)

    (Ⅰ)若b1,b2,b8成等比數(shù)列,試求m的值;
    (Ⅱ)是否存在m,使得數(shù)列{bn}中存在某項(xiàng)bt滿足b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)指出符合題意的m的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.
    數(shù)學(xué)人氣:514 ℃時(shí)間:2020-01-25 12:02:32
    優(yōu)質(zhì)解答
    (Ⅰ)因?yàn)镾n=n2,所以當(dāng)n≥2 時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1 …(3分)
    又當(dāng)n=1 時(shí),a1=S1=1,適合上式,所以an=2n-1 (n∈N* )…(4分)
    所以bn
    2n?1
    2n?1+m
     
    b1
    1
    1+m
    ,b2
    3
    3+m
    b8
    15
    15+m
     
    由b22=b1b8,
    (
    3
    3+m
    )2
    1
    1+m
    ×
    15
    15+m
     
    解得m=0 (舍)或m=9 
    所以m=9 …(7分)
    (Ⅱ)假設(shè)存在m 
    使得b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差數(shù)列,即2b4=b1+bt
    7
    7+m
    1
    1+m
    +
    2t?1
    2t?1+m
     
    化簡(jiǎn)得t=7+
    36
    m?5
     …(12分)
    所以當(dāng)m-5=1,2,3,4,6,9,12,18,36 時(shí),
    分別存在t=43,25,19,16,13,11,10,9,8 適合題意,
    即存在這樣m,且符合題意的m 共有9個(gè) …(14分)
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