y = x² - 2x - 3 = (x - 1)² - 4
M(1, -4)
2. y = x² - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)
B(3, 0)
C(0, -3)
設(shè)新的拋物線是由原拋物線向右平移p (p > 0, 頂點(diǎn)M'在射線CB上), 向上平移q得到的; 解析式為:
y - q = (x - p +1)(x - p -3) (即在原式中用x-p取代x, 用y-p取代y)
A'(-1+p, q)
M'(1+p, -4+q)
AC = √[(-1-0)² + (0 + 3)²] = √10
CB的解析式: x/3 + y/(-3) = 1, y = x -3
M'在射線CB上: -4+q = 1+p -3, q = p+2
A'(-1+p, p+2)
AC的解析式: x/(-1) + y/(-3) = 1, 3x + y + 3 = 0
A'與AC的距離d = |3(-1+p) + p+2 +3|/√(3² + 1²) = |4p+2|/√10 = (4p+2)/√10
S△A'AC＝9 = (1/2)*AC*d = (1/2)*√10*(4p+2)/√10 = 2p + 1
p = 4
q =6
新拋物線的解析式: y - 6 = (x-7)(x-3)
y = x² - 10 x + 27
3.
將原拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方得到新圖像的解析式: y = -x² + 2x + 3 (-1< x < 3)
顯然直線y=kx-2k+5過(guò)定點(diǎn)D(2, 5)
想象過(guò)D的直線從與x軸平行的位置開始順時(shí)針繞D旋轉(zhuǎn), 開始時(shí)與原拋物線在x軸以上的部分有兩個(gè)交點(diǎn),直至過(guò)B點(diǎn). 此后開始與翻折部分有交點(diǎn). 旋轉(zhuǎn)到過(guò)A時(shí), 有3個(gè)交點(diǎn)(A, 翻折部分, 原拋物線在x軸以上的部分), 此時(shí) k = (5-0)/(2+1) = 5/3
此后, 有4個(gè)交點(diǎn)(翻折部分2個(gè); 原拋物線在x軸以上的部分2個(gè)), 直至與翻折部分相切. 聯(lián)立y = -x² + 2x + 3與直線y=kx-2k+5:
x² +(k-2)x + 2(1-k) = 0
△ = (k-2)² - 4*2(1-k) = k² + 4k -4 = 0
k = -2+2√2
k = -2-2√2 (自己證明,切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x > 3, 舍去)
5/3或-2+2√2
